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2桁同士の掛け算が暗算で出来るテクニック

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http://www.flickr.com/photos/65412790@N03/5956435685
photo by JeffreyWilson01

小学校で覚える九九のおかげで、1桁同士の掛け算なら難なくこなせる私たち。でも、2桁同士の掛け算となると、途端にできなくなってしまいますよね。ところが、あるテクニックを使うと、2桁の掛け算でも簡単?に(暗算で!)出来てしまうようになるんです。その方法がこちら!

方法

  1. 10の位どうしを掛ける
  2. 1の位どうしを掛ける(結果が1桁の場合は前に0をつける 例:03)
  3. 1.と2.を並べる
  4. 10の位と1の位をたすき掛けして足す
  5. 4.を10倍する
  6. 3.と5.の結果を足す

……って、文章で書くとわかりづらいですねΣ( ̄□ ̄;)
では、筆算で表してみると。。。

例:83×96の場合

f:id:akirwn:20151210222324j:plain

  • A:10の位を掛けた値(8×9=72)と1の位を掛けた値(3×6=18)を並べた値
  • B:10の位と1の位をたすき掛けした値(8×6=48,3×9=27)を足して(=75)10倍した値(=750)
  • C:AとBの合計

となり、答えは7968になります。

……普通に筆算したほうが速くない?

ええ、そう思われるかもしれません。しかし、このネタを教えてくれた数学好きの友人曰く、このやり方に慣れると、これが頭の中でできるようになるそうです。大人になってからでは厳しいかもしれないけれど、頭の柔らかい子供のうちに練習すれば、マスターできるかも。

証明

2桁の数×2桁の数をそれぞれab*cdとした場合、
(10a+b)(10c+d)
=100ac+10ad+10bc+bd
=100ac+10(ad+bc)+bd
となります。

aとcはそれぞれ10の位の数、bとdは1の位の数に該当するので、、、

  • 100ac=【10の位の数どうしを掛けてさらに100倍した数】
  • bd=【1の位の数どうしを掛けた数】
  • 10(ad+bc)=【10の位と1の位をたすき掛けして足してさらに10倍した数】

つまり、2桁の数×2桁の数であるab*cdは、
【10の位の数どうしを掛けてさらに100倍した数】
【1の位の数どうしを掛けた数】
【10の位と1の位をたすき掛けして足してさらに10倍した数】
の合計になるのです。

ちなみに

上記のやり方ですべての2桁同士の掛け算はできるんですが、次の条件を満たす場合は、もっと話が簡単になります。

  • 10の位が同じ
  • 1の位どうしを足すと10になる

この場合、それぞれの数を掛けた答えは、「10の位×(10の位に1を足した数)」の後ろに「1の位どうしを掛けた数(結果が1桁の場合は前に0をつける 例:03)」を付けた数になります。
たとえば73×77なら、7×8=56 の後ろに 3×7=21 を付けた数、つまり5621になります。

これも証明してみると

10の位の数をa、1の位の数をb、cとした場合、
(10a+b)(10a+c)
=100a*a+10ac+10ab+bc
=100a*a+10a(c+b)+bc
/* c+b=10なので… */
=100a*a+100a+bc
=100a(a+1)+bc

つまり、掛け算の結果は、【aと(a+1)を100倍した数】+【bとcを掛けた数】。
aは10の位の数、bとcは1の位の数。前者を100倍して後者を足すということは、前者の後ろに後者を付けるということに等しい。
したがって、上記の条件を満たす場合、掛け算の答えは「10の位×(10の位に1を足した数)」の後ろに「1の位どうしを掛けた数」を付けた数になります。

……うーん、やっぱり文章で書くと難しいですね( ̄□ ̄;)
ご興味がある方は、ぜひ上記の方法を使って、試してみてください。