連続する10個の整数を足すと「5番目の数の後ろに5を付けた数」になる

先日、テレビにて、こんなネタが紹介されていました。

『連続する10個の整数を足すと、5番目の数の後ろに5を付けた数になる』。

たとえば、1～10の合計は55で、5番目の「5」の後ろに5を付けた数。101～110の合計は1055で、5番目の「105」の後ろに5を付けた数。2345～2354の合計は23495で、5番目の「2349」の後ろに5を付けた数になります。

へぇーと思いつつ、なんでそうなるの？と思ったので、まとめてみました。

理由

最初の数をXとした場合、連続する10個の整数は、X、X+1、X+2、X+3、……、X+9になります。

これをすべて足すと、X+(X+1)+(X+2)+……+(X+9)、すなわち 10X+45。
10X+45＝10X+40+5＝10(X+4)+5。

X+4とは、最初の数Xに4を足した数、つまりXから数えて5番目の数。この数を10倍して5を足した値が、連続する10個の整数の合計になるということ。

「5番目の数の後ろに5を付ける」というのは、まさにこの「5番目の数を10倍して5を足す」ことに等しいため、「連続する10個の整数の合計＝5番目の数の後ろに5を付けた数」という式が成り立つと。なるほどー。

100でも1000でも応用可能

同じ考え方で、連続する100個の整数の合計も求めることができます。

最初の数をXとすると、連続する100個の整数はX、X+1、X+2、X+3、……、X+99。
全部足すと、100X＋4950。
100X+4950＝100X+4900+50=100(X+49)+50。
Xから数えて50番目の数(X+49)を100倍して50を足した値、すなわち「50番目の後ろに50を付けた数」が、連続する100個の整数の合計になります。

同じ考え方で、連続する1000個の整数の合計も……
1000X+499500=1000X+499000+500=1000(X+499)+500、つまり「500番目の数(X+499)の後ろに500を付けた数」になるわけですね。